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已知函数F(x)=x2+Ax+B(A,B∈R),方程F(x)=0有两个相等的实数根,若关于x的不等式...

∵f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),方程f(x)=0有两个相等的实数根,∴a2-4b=0,∵关于x的不等式f(x)>t的解集为(-∞,m-8)∪(m,+∞),解方程f(x)-t=x2+ax+b-t=0,得x=a±a24b+4t2=a±2t2,∴a+2t2=m

解:∵函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈r)的值域为[0,+∞),∴f(x)=x2+ax+b=0只有一个根,即△=a2-4b=0则b=a24不等式f(x)即为x2+ax+a24则x2+ax+a24-c=0的两个根为m,m+6∴|m+6-m|=a2-4(a24-c)=6解得c=9故答案为:9

(1)若方程f(x)=0无实根,则△=a2-4ba24,∴b>0.(2)证明:设f(x)=(x-m)(x-m-1),m∈Z,则由一元二次方程个与系数的关系可得 2m+1=-a,m(m+1)=b,故b=14(a2-1),所以f(-a)=b=14(a2-1).

(1)证明:若x∈A,则x=f(x)成立,则f[f(x)]=f(x)=x必成立,即x∈B,故AB;(2)∵A={x|f(x)=x}={x|x2+ax+b=x}={x|x2+(a-1)x+b=0}={-1,3}∴-1,3是方程x2+(a-1)x+b=0的根∴1a=2b=3,即a=-1,b=-3,∴f(x)=x2-x-3∴B={x|f[f(x)]=x}={x|f(x2-x-3)=x}={x|(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x}化简可得,(x2-x-3)2-x2=0∴(x2-3)(x2-2x-3)=0∴x=3或x=-3或x=3或x=-1∴B={3,-3,-1,3}.

设集合A={x∈R|f(x)≤0}=[m.n],则由f(f(x)+1)≤0,m≤f(x)+1≤n,∴m-1≤f(x)≤n-1,∴n-1=0,∴n=1,∴f(x)=(x+a+1)(x-1),∴m=-(a+1),∵m-1≤f(x)min,∴-a-2≤-a24-a-1且-(a+1)≤1,∴-2≤a≤2.故选B.

∵函数f(x)=-x2+ax+b(a,b∈R)的值域为(-∞,0],∴△=0,∴a2+4b=0,∴b=?a2 4 .∵关于x的不等式f(x)>c-1的解集为(m-4,m+1),∴方程f(x)=c-1的两根分别为:m-4,m+1,即方程:-x2+ax?a2 4 =c-1两根分别为:m-4,m+1,∵方程:-x2+ax?a2 4 =c-1根为:x=a 2 ± 1?c ,∴两根之差为:2 1?c =(m+1)-(m-4),c=-21 4 .故答案为:?21 4 .

f(x)=x^2+ax+bA={x| x=f(x)}, B={x| x=f(f(x))}x ∈ A => x = f(x) => f(x) = f(f(x)) => x = f(f(x)) ( x= f(x)) => x ∈ B => A is subset of BA={-1,3}x= x^+ax+bx^2+(a-1)x+b=0sum of roots -(a-1

x-3x-2=0x1+x2=3,x1x2=-2x=3x+2x1=3x1+2,x2=3x2+2x1-x2=x1*x1-x2*x2=x1(3x1+2)-x2(3x2+2)=3(x1+x2)+2(x1+x2)=3[(x1+x2)-2x1x2]+2(x1+x2)=3(9+4)+6=45

由已知可得,当A={-1,3}时,X=X2+aX+b的解为-1,3等价为方程X2+(a-1)X+b=0的解为-1,3由伟达定理得1-a=-1+3,b=-3解得a=3,b=-3所以f(X)=X2+3X-3因为X=f(X)所以B={-1,3}

∵函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的图象与x轴相切,∴△=a2-4b=0,设函数f(x)=x2+ax+b的图象与直线y=c交于A,B两点,即A,B两点的横坐标为方程:x2+ax+b-c=0的两根,故AB=|x1-x2|= (x1+x2)2?4x1?x2 = a2?4b+4c =2 c ,设函数f(x)=x2+ax+b的图象与直线y=c+5交于C,D两点,同时可得:CD=2 c+5 ,此时四边形ABCD是一个以AB,CD为两底,高为5的梯形,S=25=1 2 (AB+CD)*5=( c + c+5 )*5,即 c + c+5 =5,解得:c=4,故答案为:4

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