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如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证:AD⊥EF。

证明:∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠EDO=∠FDO,在△DEF中,DE=DF,∠EDO=∠FDO,∴DO⊥EF,∴AD⊥EF.

∵DE⊥AB,DF⊥AC∴∠AED=∠AFD=90°∵AD是角BAC的平分线∴∠DAE=∠DAF∵AD=AD∴△ADE ≌△ADF∴AE=AF DE=DF∴点A和点D在EF的垂直平分线上∴AD是EF的垂直平分线

因为DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, 所以S△ABD=1/2AB.DE S△ACD=1/2AC.DF 又AD为角平分线, 有角平分线定理:DE=DF 故有S△ABD:S△ACD=AB:AC

∵AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,∴DF=DE=2.又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,AB=4,∴7=1/2*4*2+1/2*AC*2,∴AC=3.

解答:证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,又AD=AD,∴△ADE≌△ADF(HL).∴AE=AF,又∠DAE=∠DAF,∴AD⊥EF.(2)成立.(理由同上)

解:∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC∴DE=DF (角平分线性质)又∵DE⊥AB,DF⊥AC∴S△ABD=AB*DE/2=20*DE/2=10DE∴S△ACD=AC*DF/2=8*DF/2=4DE∵S△ABD+S△ACD=S△ABC,S△ABC=28∴10DE+4DE=28∴DE=2(cm)

∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F∴DE=DFs=1/2*AB*DE+1/2*AC*DF =1/2*DE(AB+AC)DE=28*2/28=2

因为AD是∠BAC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F点所以,DE=DF而∠ADE=90-∠DAE,∠ADF=90-∠DAF,∠DAE=∠DAF所以,∠ADE=∠ADF所以,AD是等腰三角形DEF顶角EDF的平分线,因此也是其底边EF的高所以,AD⊥EF

证明:∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DE=DF,在△BDE和△CDF中, DE=DF ∠DEB=∠DFC=90° BE=CF ,∴△BDE≌△CDF(SAS),∴BD=CD,即D是BC的中点.

因为:AD是∠BAC的角平分线,CD⊥AB DF⊥AC 所以:DE=DF (角平分线上一点到这个角两边的距离相等)所以:D在EF的垂直平分线上(到一条边两个端点距离相等的点,在这条边的垂直平分线上) 在三角形ADE与三角形ADF中 AD=AD DE=DF所以:三角形ADE全等于三角形ADF(H.L)所以:AE=AF (全等三角形对应角相等)所以:A在EF的垂直平分线上(到一条边两个端点距离相等的点,在这条边的垂直平分线上)即:AD垂直平分EF

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